INTRODUCCION
No siempre resulta sencillo seguir razonamientos o
argumentos extensos para obtener conclusiones válidas. Nosotros trabajamos con
argumentos dentro de la lógica, donde todo argumento debe ser o verdadero o
falso, no existe una tercera posibilidad.
Para poder manejar y operar entre estos argumentos, el
lenguaje usual puede resultar ambiguo respecto a la validez de los argumentos.
Trabajaremos con lógica de conjuntos, números reales,
estadística y trigonometría, al hacer todo nuestros ejercicios podrán manejar
con mucha facilidad todos lo temas anteriormente dichos.
Fomentar el conocimiento, especialmente matemático para que los estudiantes desarrollen su razonamiento y mejoren su intelecto.
OBJETIVOS ESPECIFIOS
Ø
Manejar
con facilidad todos los temas que tenemos en las unidades.
Ø
Poder
desarrollar cada uno de los talleres con rapidez.
Ø
Promover
el interés sobre la materia, utilizar el conocimiento y seleccionar información
relevante.
LÓGICA Y CONJUNTOS
La lógica es un método de razonamiento que no acepta conclusiones
erróneas.
PROPOSICIÓN
Una proposición es una unidad semántica que, o sólo es verdadera o sólo
es falsa.
EJEMPLOS:
Ø
5 es
un número primo. 1
(verdadera)
Ø
Bogotá
es la capital de El Ecuador. 0 (falsa)
Ø
Las
líneas de Nazca están ubicadas en el Perú. 1 (verdadera)
Ø
X+5
= 9. 0 (falsa)
VALOR DE VERDAD
El valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que
describe adecuadamente la proposición, este puede ser verdadero o falso.
OPERADORES LÓGICOS
ü
NEGACIÓN.- Este operador lógico cambia el valor de verdad de una proposición: si
, representada
simbólicamente por
, es una nueva
proposición; expresado así:
EJEMPLO:
ü
CONJUNCIÓN.-
Este operador lógico relaciona dos proposiciones para
formar una nueva, en la cual la proposición resultante será verdadera solamente
cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es verdadero
ü
DISYUNCIÓN.-
Este operador lógico relaciona dos proporciones para
formar una nueva, en la cual la proposición resultante será falsa solamente
cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es falso.
ü DISYUNCIÓN EXCLUSIVA.- Este operador lógico relaciona dos proposiciones para
formar una nueva, en la cual la
proposición resultante será verdadera cuando solamente una de ellas sea verdadera.
ü
CONDICIONAL.-
Este operador lógico se denomina enunciación
hipotética o implicación. En la proposición α
α es el
antecedente
premisa;
es el consecuente, conclusión o tesis; y la
proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad del
antecedente sea verdadero y el valor de verdad del consecuente sea falso.
α: Patricia compra
zapatos.
Patricia recibe un buen sueldo.
α
Patricia compra zapatos sólo si recibe un buen
sueldo.
α: Hoy hará frío.
Hoy llueve.
α
Hoy hará sólo si hoy llueve.
α: La selección ecuatoriana de fútbol gana.
α
La selección ecuatoriana de fútbol gana sólo
si entrena arduamente.
α: Marcos se va de viaje.
Marcos recibe vacaciones.
α
Marcos se va de viaje sólo si recibe
vacaciones.
α: Tatiana es abanderada del colegio.
Tatiana es una excelente estudiante.
α
Tatiana es abandera del colegio sólo si es una
excelente estudiante.
α: Los seres humanos tendremos un ambiente apropiado
para el buen vivir.
α
Los seres humanos
tendremos un ambiente apropiado para el buen vivir sólo si protegemos el medio
ambiente.
α: Juan gana el concurso.
Juan dona $ 10
000.
α
Juan gana el
concurso sólo si dona $ 10 000.
ü
BICONDICIONAL.- Este operador lógico,
también se denomina doble implicación. La proposición α
será verdadera
cuando los valores de verdad de ambas proposiciones sean iguales. También se
puede observar que la proposición α
será falsa
cuando los valores de verdad de ambas proposiciones sean diferentes.
EJEMPLO:
α: Un triángulo es equilátero.
Un triángulo es equiángulo.
α
Un triángulo es equilátero si sólo si
equiángulo.
α:
María puede casarse.
María hace la primera comunión.
α
María puede
casarse si sólo si hace la primera comunión.
α:
Matías ganará la final de un encuentro deportivo.
α
Matías ganará la
final de un encuentro deportivo si sólo si se esfuerza mucho.
ü
TABLA DE VERDAD
DE UNA FORMA PROPOSICIONAL.
Se denominan formas proposicionales a las estructuras
constituidas por variables proposicionales y los operadores lógicos que las
relacionan.
DEFINICIÓN.- Un conjunto es una colección, reunión o
agrupación de objetos que poseen una característica o propiedad común bien
definida.
EJEMPLO:
v Días de la semana.
v Números enteros.
v Animales mamíferos.
v Habitantes del Planeta Tierra.
Es la cantidad de elementos de un conjunto A. Se
denota por el símbolo N(A).
ü
CUANTIFICADOR
UNIVERSAL.- Cualquier expresión de la forma: “para todo”, “todo”,
“para cada”, “cada”, constituye en el lenguaje formal un cuantificador
universal y se simboliza por medio de
.
SUBCONJUNTO.- El conjunto A
es subconjunto de B si y sólo si los elementos de A están contenidos en B.
Simbólicamente, este concepto se representa por:
(
CONJUNTO POTENCIA.- Dado un conjunto
A, su conjunto potencia es aquel que está formando por todos los subconjuntos
posibles de A. El símbolo que se utiliza para este conjunto es
EJEMPLO:
A
partir de este resultado, las siguientes proposiciones son verdaderas:
Observe
que
A
partir de este resultado, las siguientes proposiciones son verdaderas:
Observe
que
ü UNIÓN ENTRE CONJUNTOS.-La unión entre conjuntos A y B es un nuevo conjunto
formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B.
ü
INTERSECCIÓN ENTRE CONJUNTOS.- La intersección entre los conjuntos A y B es un nuevo
conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto
B. Se denota por
y se define como :
ü
DIFERENCIA ENTRE
CONJUNTOS.- La diferencia entre los conjuntos A y B es un nuevo
conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A, pero no
pertenecen al conjunto B. S e denota por A-B y se define como:
ü DIFERENCIA SIMÉTRICA ENTRE CONJUNTOS.-La diferencia
simétrica entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los
elementos que pertenecen o al conjunto A o al conjunto B. Se denota por
o también:
COMPLEMENTACIÓN
DE CONJUNTOS.- La complementación de un conjunto A es un nuevo
conjunto formado por los elementos del referencial que no pertenecen al conjunto A.
Las propiedades entre conjuntos y algunas de sus más
importantes propiedades se incluyen en las denominadas Leyes del Álgebra de
Conjuntos.
PREDICADOS
DE UNA VARIABLE
Son expresiones en términos
de una variable que al ser reemplazadas por los elementos de un conjunto
referencial, se convierten en proposiciones. Si x representa a cualquier
elemento de Re, entonces la expresión p(x) se definirá como predicado.
La notación para los
predicados será: p(x), q(x), r(x),
etc.
Ejemplo:
Dado Re = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y p(x): x es impar.
Si x = 3, p(3): 3 es impar, es una proposición verdadera.
Si x = 6, p(6): 6 es impar, es una proposición falsa.
Por lo tanto, p(x) es un predicado.
CONJUNTO
DE VERDAD DE UN PREDICADO
Es el conjunto formado por
todos los elementos de Re para los cuales el predicado se convierte en una
proposición verdadera. La notación a utilizar para este conjunto es Ap(x), y se
define como:
Ap(x) = {x/(x ∈Re)∧(p(x)⇔1)}
En relación a los conjuntos
de verdad de predicados compuestos, se cumplen las siguientes propiedades
A
p(x) = ACp(x)
A[p(x)
q(x)]
= Ap(x)∪Aq(x))
A[p(x)Ùq(x)] = Ap(x)∩Aq(x)
A[p(x)
q(x)] = ACp(x)∪ Aq(x)
Ejemplo: Aplicación de las
propiedades de los conjuntos de verdad.
Se pueden obtener conjuntos de verdad de predicados
compuestos a partir de los conjuntos de verdad de los predicados que lo constituyen.
De esta forma, si se requiere hallar A[p(x)→(q(x)∧¬r(x))], se pueden emplear las propiedades
anteriormente citadas de la siguiente forma:
A[p(x)(q(x)Ùr(x))] =
A[¬p(x)(q(x)Ùr(x))]
= ACp(x) ∪
(Aq(x)∩Ar(x))
A[p(x)(q(x)Ùr(x))] = ACp(x) ∪
(Aq(x)∩ACr(x))
De esta manera, conociendo
los conjuntos de verdad de p(x), q(x), r(x) y el referencial de estos
predicados, se puede obtener el conjunto de verdad resultante de esta
operación.
En referencia a los ejemplos 1.51, 1.52, 1.53 y 1.54 se
tiene que:
ACp(x) = {2, 4, 6}
Aq(x) = {1, 2, 3, 4}
ACr(x) = {1, 3, 4, 5, 6}
Realizando las operaciones
indicadas en ACp(x) ∪
(Aq(x)∩ ACr(x)), se obtiene el conjunto {1, 2, 3, 4, 6}, el cual
constituye el conjunto de verdad del predicado compuesto requerido.
Dado que ya se ha definido a
los predicados y en la sección 1.9 se describieron los dos tipos de
cuantificadores que se utilizan en la lógica simbólica, se pueden traducir
expresiones del lenguaje natural que combinan predicados y cuantificadores.
Para el efecto, si se tiene
un predicado p(x) y un conjunto referencial Re, los siguientes enunciados son
proposiciones con cuantificadores:
∀xp(x)
∃xp(x)
Ya que el primero de ellos
se lee “para todo x elemento del Re, se cumple p(x)”, y el segundo de ellos se
lee “existe al menos un x elemento de Re que cumple con p(x)”, ambos pueden ser
calificados como proposiciones verdaderas o falsas.
De aquí que, si un predicado
es cuantificado con alguno de los dos cuantificadores definidos, se obtiene una
proposición, tal como se define a continuación.
VALOR
DE VERDAD DE PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES
Una proposición que contiene
un cuantificador universal es verdadera si y sólo si el conjunto de verdad del
predicado es igual al conjunto referencial de la expresión abierta.
∀xp(x)⇔(Ap(x) =
Re)
Una proposición con un cuantificador existencial es
verdadera si y sólo si el conjunto de verdad del predicado no es vacío.
∃xp(x)⇔¬(Ap(x) = ∅)
Leyes de los Cuantificadores
Ejemplo
1:
Sea el conjunto referencial
Re = {1, 2, 3, 4,...} y los predicados: p(x): x es un número impar, q(x): x es
un número par. Identifique cuál de las siguientes proposiciones es falsa:
a) A(p(x)q(x) ⊆ Aq(x) falso Ap(x)= {1, 3, 5,……. }
b) Re = Ap(x) ∪ Aq(x) falso Aq(x)= {2, 4, 6,……. }
c)
Ap(x) = ACq(x) falso
d) Aq(x) − Ap(x) = ∅ verdadero R,
e) A(q(x)p(x)) = Ap(x) falso
Un par
ordenado es un conjunto de dos elementos, x y y, que tiene un orden; al
elemento x se lo denomina primera componente y al elemento y se lo denomina
segunda componente. Se representa simbólicamente por: (x, y).
Como el par es ordenado, no
es lo mismo (x, y) que (y, x).
Una terna ordenada sería un
conjunto de tres elementos ordenados y su representación es: (a, b, c).
Es importante anotar que existen conjuntos
ordenados que pueden formarse con más de tres componentes.
PRODUCTO CARTESIANO
Sean dos conjuntos A y B, no vacíos,
denominaremos producto cartesiano entre A y B, al conjunto de todos los pares
ordenados cuya primera componente pertenece al conjunto A, y la segunda al
conjunto B. Simbólicamente, se representa como: A x B.
A x B = {(x, y)/(x ∈A)Ù(y ∈B)}
La representación gráfica de A x B constituye
el plano cartesiano, en el cual
tanto los elementos de A como los de B se alinean en dos segmentos de recta. Un
segmento representará al conjunto A y el otro al conjunto B.
La cardinalidad del producto cartesiano es el producto de las
cardinalidades de los conjuntos que intervienen en la operación.
Ejemplo
1: Producto cartesiano entre dos conjuntos
A = {1, 3, 5} B = {2, 4, 6}
A x
B = {(1,2), (1,4),
(1,6), (3,2), (3,4), (3,6), (5,2), (5,4), (5,6)}
La cardinalidad del conjunto resultante es
N(A x B) = 9.
Ejemplo
2: Producto cartesiano entre tres conjuntos
A = { m, n} B
= {2, 4, 6} C = {x, y}
A x
B x C = {(m,2,x), (m,2,y), (m,4,x), (m,4,y), (m,6,x), (m,6,y), (n,2,x),
(n,2,y), (n,4,x), (n,4,y), (n,6,x), (n,6,y)}
La cardinalidad del conjunto resultante es
N(A x B x C) = 12.
CARDINALIDAD DEL PRODUCTO CARTESIANO
Ejemplo: Cardinalidad
del producto cartesiano.
Si A, B, C son
conjuntos tales que: N(A) = 3, N(B) = 5, N(C) = 2 y N(B∩C) = 3, determine N[A x
(B∪C)].
Solución:
En base a la definición de N(A x B), tenemos
que:
N[A
x(B∪C)]
= N(A)N(B∪C)
Por otra parte:
N(B∪C) = N(B) + N(C) −
N(B∩C) = 5 + 2 − 3 = 4
Luego:
N[A x(B∪C)] = (3)(4) =12 R.
PROPIEDADES
DEL PRODUCTO CARTESIANO.
El producto cartesiano tiene las siguientes
propiedades:
A x (B∩C ) = (A
x B)∩(A x C)
A x (B−C) = (A x B)−(A x C)
(A∪B) x
C =
(A x C)∪(B x
C)
(A∩B) x C = (A
x C)∩(B x C)
(A−B) x C = (A
x C) − (B x C)
RELACIÓN
Una relación
establece la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos no vacíos A y
B. Usualmente, al conjunto A se lo denomina conjunto de partida, y al conjunto
B, de llegada. Simbólicamente, la relación se representa por R y se cumple que:
R ⊆ A x B
Es decir, todos los
subconjuntos de A x B constituyen una relación. La cantidad máxima de
relaciones que se pueden obtener a partir de dos conjuntos no vacíos A y B es:
2N(A) N(B).
Ejemplo
Cantidad de relaciones.
Dados
los conjuntos A = {1, 2} y B = {a, b}, determine analíticamente el número de
relaciones posibles que se pueden obtener de A en B, y realice los diagramas
sagitales correspondientes a todas las relaciones posibles.
Solución: El número de relaciones de A en B es
2N(A)N(B) = 2(2)(2) = 24= 16
Dada
una relación R, construida a partir de los conjuntos A y B, los elementos del
conjunto A que establecen correspondencia constituyen el dominio de la
relación. Se representa simbólicamente por:
dom R.
No
necesariamente todos los elementos del conjunto de partida forman parte del
dominio de una relación.
RANGO DE UNA RELACIÓN
Dada una relación R,
construida a partir de los conjuntos A y B, los elementos del conjunto B que se
relacionan con elementos del dominio de R constituyen el rango de la relación.
Se representa simbólicamente por:
rg R.
Es
común también denominar al rango de la relación como el recorrido, imagen o
codominio de la misma.
No
necesariamente todos los elementos del conjunto de llegada forman parte del
rango de una relación.
Ejemplo: Dominio y rango de
una relación.
A =
{2, 4, 5} B = {1, 3, 5} R = {(x, y)/x+y
es un número primo}
Solución:
R =
{(2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3)}
dom R = {2, 4} R.
rg R = {1, 3, 5} R.
FUNCIONES
FUNCIÓN
Una relación de A en B es una función si y sólo si el
dominio de la relación es todo el conjunto de partida, y si a cada elemento del
dominio le corresponde un único elemento en el rango. Simbólicamente, esta
definición se representa por:
1. dom
R = A
2.
∀x ∈A∀y1, y2 ∈B[(x R y1) ∧ (x R y2) ⇒(y1 = y2)]
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