CAPÍTULO II

NÚMEROS REALES

NÚMEROS REALES

Si consideramos números enteros a la derecha de 0, estamos hablando del conjunto Z+, mientras que los que se encuentran a la izquierda de 0, representan el conjunto Z-. El cero no es positivo ni negativo.

Las mismas consideraciones se aplicarán para los números racionales, irracionales y reales en general. Dado que la cardinalidad de estos conjuntos es infinita, se utilizará el símbolo <x> para representar tal valor en la recta numérica.

Si se tratara de un valor tan grande y positivo como sea posible, entonces se lo representará con + w; mientras que si el valor es tan grande como sea posible, pero negativo, entonces se utilizará - w.

Los números reales pueden ser representados con cifras enteras y cifras decimales. Los números reales racionales tienen representaciones decimales con una cantidad finita de dígitos, o con cierto número de dígitos que aparecen indefinidamente siguiendo algún patrón de repetición.

Los números reales irracionales tienen representaciones decimales que no terminan ni tienen un patrón de repetición. Por ejemplo: V2 = 1.414213..., n = 3.14159... En la práctica, los números irracionales generalmente son representados por aproximaciones. Se suele utilizar el símbolo - (se lee "aproximadamente igual a") para escribir V2 - 1.414 y n - 3.1416.

Para lograr la representación decimal, en el caso de números racionales, es suficiente dividir el numerador para el denominador.

OPERACIONES BINARIAS

Tienen la particularidad de que si tomamos dos elementos de un conjunto, numérico en este caso, la operación genera un tercer número dentro o fuera del conjunto al cual se está haciendo referencia.

La unión y la intersección de conjuntos también generan nuevos conjuntos. Las operaciones que toman 2 elementos de un conjunto y su resultado se encuentra en el mismo conjunto tienen particular interés para nosotros y se denominan operaciones binarias.

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS

Ø  La propiedad clausurativa indica que el resultado de la operación binaria debe pertenecer al conjunto que se toma como referencia.

Ø  La propiedad conmutativa indica que el orden de los operandos no es importante al realizar la operación.

Ø  La propiedad asociativa indica que se pueden agrupar en diferente forma los elementos de la operación.

Ø  La propiedad de poseer elemento neutro n indica que al realizar la operación entre cualquier elemento del referencial y este elemento, o viceversa, no lo modifica al primero.

Ø  La propiedad de poseer elemento inverso a indica que al realizar la operación entre cualquier elemento del referencial y este elemento, o viceversa, se obtiene el elemento neutro. Esta propiedad sólo deberá probarse en caso de existir elemento neutro.

Ejemplo 1

Sea el conjunto Z y la operación binaria * definida en Z, a * b = a + 3b.

Se verifica la siguiente propiedad:

Cerradura, a + 3b e Z, para cada elemento a, b de Z.

Por el contrario, la operación binaria no cumple las siguientes propiedades:

Conmutativa, a + 3b ^ b + 3a. Basta mostrar el siguiente contraejemplo: para a = 1 y b = 2 se verifica que 1 * 2 = 7, pero 2 * 1 = 5.

Asociativa, a + 3(b + 3c) ^ (a + 3b) + 3c. El contraejemplo podría ser a = 1, b = 2 y c = 3, en el cual 1 * (2 * 3) = 34, mientras que (1 * 2) * 3 = 16.

Elemento neutro, a * n = a+3n y n * a = n+3a, por lo tanto, a * n ±n * a.

Elemento inverso, esta propiedad no tiene sentido probarla ya que no existe elemento neutro.

OPERACIONES ENTRE NÚMEROS REALES

·         Relación de orden de números enteros

 

Observando la recta numérica se aprecia que los enteros están "ordenados", de tal modo que un número es mayor que otro mientras más a la derecha se encuentre de él.

Con el objeto de precisar este orden, se define una relación "mayor que" entre los elementos de Z, que se simboliza por >.

·         Relación de orden de números reales.

Se conoce que, en general N £ Z £ Q £ R. Un problema interesante es cómo extender la relación de orden analizada previamente, al conjunto R formado por los números reales. A pesar de que la construcción rigurosa es un tanto complicada, en la práctica, a partir de la representación por medio de puntos en la recta numérica se puede observar que si el número b está situado a la derecha de a, se dice que a < b, o también que b > a.

 

Definición (Tricotomía de los Números Reales)

Dados dos números reales, siempre es posible relacionar su orden, de tal manera que uno es mayor que el otro o son iguales. Cumple con las siguientes

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Es la combinación de símbolos (números y letras), a través de las diferentes operaciones fundamentales. Los términos de la expresión algebraica corresponden a cada una de sus partes, las cuales están separadas entre sí por los signos + o -.

Ejemplo 1

(3x − 4)2 = 9x2 − 24x + 16

Ejemplo 2

(5x + 2)2 = 25x2 + 20x + 4

En todo término se distingue el coeficiente numérico y el factor literal. En el término -5 x2y3z4, -5 es el coeficiente numérico, x2y3z4 es el factor literal. En el factor literal, los números que se colocan en la parte superior derecha de las letras se llaman exponentes e indican el número de veces que se toman dichas letras como factores.

Si la expresión algebraica tiene un solo término se denomina monomio, si tiene dos términos se denomina binomio, si tiene tres términos se denomina trinomio. Si la expresión algebraica tiene en general más de un término, se denomina polinomio.

Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen el mismo factor literal. Al reducir términos semejantes queremos reemplazar a todos ellos por uno solo.

Productos Notables

Los productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse directamente, sin hacer paso a paso la multiplicación. Son como las tablas de multiplicar del álgebra elemental.

Los principales productos notables son:

Cuadrado del binomio

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Suma por diferencia

(a + b)(a - b) = a2 - b

Producto de binomios con un término repetido

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + abCubo de un binomio

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b

 Cuadrado de un trinomio

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

 

Productos que desembocan en la suma o diferencia de cubos perfectos

(a + b)(a2 - ab + b2 ) = a3 + b3

(a - b)(a2 + ab + b2 ) = a3 - b3

FACTORIZACIÓN

Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como el producto más simple de sus factores. Para llevarla a cabo, lo primero que debe hacerse es poner en evidencia un factor común, si es que lo hay, y luego analizar si el factor no común corresponde al desarrollo de uno o más de los productos notables. Todas las expresiones correspondientes a los productos notables pueden ser usadas como expresiones de factorización si las leemos de derecha a izquierda.

 Racionalización

Racionalizar el denominador de una fracción es convertir una fracción cuyo denominador es irracional en una fracción equivalente, cuyo denominador sea racional. Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fracción, desaparece todo signo radical del denominador.

 VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número x se representa por | x | y es un número no negativo

Objetivos

Al finalizar esta sección el lector podrá:

·         Dado un número real, obtener su valor absoluto.

·         Interpretar el concepto de valor absoluto como la distancia entre dos números reales.

·         Representar intervalos sobre la recta real.

·         Dado un intervalo, identificar si es abierto, cerrado, semiabierto o semicerrado.

·         Aplicar la definición de valor absoluto en operaciones binarias.

ECUACIONES

Una ecuación o igualdad condicional, es aquella que es verdadera sólo para algún o algunos valores de las variables del conjunto referencial que corresponda.

Objetivos          

·         Al finalizar esta sección el lector podrá:

·         Explicar con sus propias palabras la diferencia entre ecuación e identidad.

·         Realizar demostraciones aplicando propiedades de las igualdades.

·         Resolver ecuaciones de tipo lineal, cuadrática, con valor absoluto y con radicales.

·         Dada una ecuación cuadrática, determinar el tipo de solución que tendrá mediante el análisis de su discriminante.

·         Dada una ecuación cuadrática con parámetros desconocidos, establecer condiciones sobre estos parámetros en función del tipo de solución requerido.

·         Analizar soluciones extrañas de las ecuaciones con radicales.

·         Plantear y resolver problemas basados en ecuaciones.

Definición (Identidad)

Una identidad o igualdad absoluta, es un enunciado que compara dos expresiones matemáticas con el símbolo "=" y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda

Ecuaciones cuadráticas

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma:

p(x) : ax2 + bx + c = 0 a, b, c e M A a ± 0 donde x es la incógnita cuyo valor hay que determinar.

Se pueden encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática mediante factorización o por la fórmula general.

En el primer caso, se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuación cuadrática como el producto de dos factores lineales, y se igualan a cero estos factores. Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente, como se describió en la sección anterior.

Finalmente, las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuación cuadrática dada.

INECUACIONES

Una inecuación es un predicado que incluye una desigualdad condicionada, y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposición verdadera.

Objetivos

Al finalizar esta sección el lector podrá:

·         Explicar con sus propias palabras la diferencia entre inecuación y desigualdad.

·         Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades.

·         Resolver inecuaciones de tipo lineal, cuadrática y con valor absoluto.

·         Plantear y resolver problemas basados en inecuaciones.