Trigonometría
m
A
B m
(B) = α
Se acostumbra
designar a la medida de los ángulos con letras
del alfabeto griego: α, β, γ, θ, ω entre otras.
Si se considera una región del plano con un recorrido
desde el lado inicial del ángulo hasta el lado final, siguiendo
el sentido contrario de las manecillas del reloj, por convención
la medida del ángulo es positiva. Si
dicho recorrido se realiza en sentido de las manecillas del reloj, la medida es
negativa.
Lado final
Lado final
β
α
Vértice
Lado inicial
Vértice
Lado inicial
a) Medida positiva de un ángulo
b) Medida negativa de un ángulo
Figura 4.2:
Signos de las Medidas de los Ángulos.
Un ángulo se encuentra
en posición normal o estándar si su vértice está ubicado en el origen del sistema de coordenadas rectangulares y su
lado inicial coincide con el semieje
X positivo. Si el lado terminal
del ángulo se encuentra en el segundo cuadrante,
se denominará ángulo del segundo cuadrante
y análogamente para los otros cuadrantes.
a) Ángulo en
posición normal del segundo cuadrante, cuya medida es
positiva.
Lado final
b) Ángulo
en posición normal
del cuarto cuadrante, cuya
medida es negativa.
Figura
4.3: Signos de las Medidas de los Ángulos.
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Para la localización exacta de una estrella o la posición
de un barco, se utilizan
las unidades de medida más conocidas, como son los grados sexagesimales,
minutos y segundos; tales unidades están basadas en la división en partes
iguales de una circunferencia.
Algunas
equivalencias importantes son las
siguientes:
360º representan un giro completo alrededor de una
circunferencia.
|
de vuelta
alrededor de una circunferencia.
|
de
vuelta.
|
1º representa
60 minutos (‛).
1‛
representa 60 segundos (‛‛).
Es de observar
que para generar un ángulo se puede dar más de un giro completo; por ejemplo, si damos
dos giros completos se tendrían 720º; si se
dan 10 giros se tendrían 3600º.
Para propósitos de cálculo, los grados son transformados en radianes,
puesto que el radián es mucho
más práctico en las aplicaciones físicas.
A
continuación, se interpreta el significado de un radián:
Considerando una circunferencia de radio r y centro O, se construye un
ángulo de medida α cuyo vértice esté ubicado en O, y cuyos lados
inicial
y terminal subtienden sobre la circunferencia un arco de longitud igual a r, tenemos que α constituye un radián.
r
α
O r α = 1 radián
1 radián
≈ 57º 17' 44.8''
Figura 4.4:
Interpretación de un Radián.
Es de notar que la medida de un ángulo es independiente
de la longitud del radio. Por
ejemplo, al dividir una pizza en 8
partes iguales, la medida del ángulo de cada pedazo permanece igual, independientemente si la pizza es pequeña,
normal o familiar.
La medida de un ángulo permite calcular
fácilmente la longitud
de un arco de
circunferencia; sólo basta multiplicar la longitud del radio por la medida del ángulo en radianes.
Longitud de
un arco de circunferencia
= (Medida del ángulo en radianes)(Longitud del radio)
Figura 4.5
Longitud de la Circunferencia.
Es importante reconocer la medida de un ángulo, ya sea que esté expresada en radianes o grados sexagesimales, porque ésta indica la ubicación
del ángulo en uno de los ejes
o cuadrantes del sistema de coordenadas
rectangulares. Así, las diferentes ubicaciones del lado terminal de un ángulo en términos
de su medida se resumen en el Cuadro 4.1.
Cuadro 4.1: Ubicación de
los Ángulos respecto a su Medida.
Para medidas mayores a 2π radianes o 360º, se debe dividir esta medida
para 2π o 360º, según sea el caso;
el cociente indicará
la cantidad de giros o
vueltas y el residuo de la división indicará la ubicación del lado terminal
del ángulo.
Ejemplo 4.1 Ubicación de los ángulos.
Se requiere ubicar un ángulo cuya medida es 410º. Si se divide para
360º, se obtiene 1 de cociente y 50 de residuo. Esto quiere decir que el
ángulo ha dado una vuelta completa de 360º y su lado terminal se ha
ubicado en 50º. Por
tanto, es un ángulo del I Cuadrante.
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4.1.2 Clases de ángulos
Definición 4.3 (Coterminales)
Son aquellos ángulos que
tienen los mismos lados inicial y terminal.
Ejemplo
4.2 Ángulos coterminales.
|
|
3
coterminales.
y β - 5π . Graficando se observa que los ángulos
son
3
Definición 4.4 (Consecutivos)
Dos ángulos
de un mismo plano son consecutivos cuando sólo tienen
un lado en común.
Definición
4.5 (Adyacentes)
Dos ángulos son adyacentes
cuando son consecutivos y los lados
no comunes son semirrectas en la misma dirección, pero en sentido contrario. La suma de las medidas de éstos ángulos
es 180º.
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